Mengapa Tiga

Kubus yang hanya mengenal satu angka

3927 adalah 2048 yang dibangun ulang dalam tiga dimensi dan dalam aritmetika yang berbeda. Papannya adalah kubus 3×3×3, dua puluh tujuh sel, dan Anda mendorong seluruh kubus ke salah satu dari enam arah. Ketika tiga ubin bernilai sama bertabrakan, nilainya tidak berlipat dua; nilainya berlipat tiga. Tiga menjadi sembilan, sembilan menjadi dua puluh tujuh, dan seterusnya: 81, 243, 729. Namanya sendiri menghitung tiga ubin pertama, 3·9·27, dan segala hal dalam desainnya adalah tiga sampai ke dasarnya: tiga per sumbu, tiga untuk satu penggabungan, tiga sebagai faktor pertumbuhan. ⁴

Leluhurnya sangat biner. 2048 klasik bermain dengan pangkat dua, 2, 4, 8, 16…, dan menggabungkan ubin berpasangan. Dua adalah angka lemparan koin, transistor, dan bit. Maka pertanyaan wajar yang diajukan pemain yang penasaran adalah apakah menukar dua dengan tiga hanyalah kebaruan, atau apakah tiga selama ini menyembunyikan keunggulan yang nyata. Ternyata matematika punya pendapat, dan pendapatnya mengejutkan tegasnya.

Harga berhitung

Bayangkan Anda harus membuat mesin yang menyimpan bilangan. Setiap posisi digit menghabiskan biaya, sebuah roda, sebuah kabel, sebuah tabung, dan biaya itu naik seiring basisnya, karena digit berbasis b memerlukan b keadaan yang dapat dibedakan. Namun basis yang lebih besar juga berarti Anda memerlukan digit yang lebih sedikit untuk mencapai bilangan tertentu. Ada tarik-menarik di sini, dan ia punya nama: ekonomi radiks.

Secara formal, ekonomi untuk menyatakan bilangan N dalam basis b adalah basis dikali banyaknya digit, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. ¹ Basis yang besar memberi Anda bilangan yang pendek tetapi digit yang mahal; basis yang kecil murah per digit tetapi memanjang ke mana-mana. Di antara dua ekstrem itu ada titik manis, dan titik itu bukan tempat sebagian besar teknologi kita berlabuh.

Basis optimal adalah bilangan irasional

Untuk N yang besar, ekonominya berperilaku seperti (b ÷ ln b) · ln N, sehingga efisiensi suatu basis sepenuhnya bergantung pada faktor b ÷ ln b. Minimalkan faktor itu dengan sedikit kalkulus, dan jawabannya pasti sekaligus ganjil: basis yang paling ekonomis dari semuanya adalah e, kira-kira 2,71828. ¹ Tentu saja Anda tidak dapat membuat komputer dengan 2,718 keadaan per digit. Namun Anda dapat bertanya bilangan bulat mana yang paling dekat dengan ideal itu, dan pemenangnya, yang mengalahkan dua maupun sepuluh, adalah tiga.

Selisihnya bukan sekadar urusan akademis. Basis tiga berada dalam jarak setengah persen dari optimum teoretis, sementara biner membayar biaya tambahan enam persen dan desimal enam puluh persen yang telak. Cara konkret untuk merasakannya: untuk menulis setiap bilangan dari 0 hingga 999.999, biner memerlukan 20 digit, desimal memerlukan 6, tetapi ternary hanya memerlukan 13, dan 13×3 menghasilkan total yang lebih kecil daripada 20×2. ¹ Tiga benar-benar memadatkan lebih banyak hitungan ke dalam struktur yang lebih sedikit.

Alam ditanya cara berhitung yang paling efisien, dan ia menjawab dengan bilangan irasional. Bilangan bulat terdekat dengan jawaban itu adalah tiga.

Mesin yang memercayainya

Ini bukan sekadar keanehan di buku teks. Pada 1958, di Universitas Negeri Moskwa, sebuah tim yang dipimpin Nikolay Brusentsov dan matematikawan Sergei Sobolev membangun Setun, komputer ternary paling terkenal yang pernah dibuat. ³ Ketika Barat berkomitmen pada bit, Setun berhitung dalam trit, dan menggunakan skema yang sangat indah: ternary seimbang, yang ketiga nilai digitnya bukan 0, 1, 2 melainkan −1, 0, +1. ²

Simetri itu langsung membuahkan hasil. Sebuah bilangan membawa tandanya sendiri, tanpa bit tanda terpisah, tanpa kerumitan komplemen dua, dan untuk menegasikan nilai apa pun Anda cukup membalik setiap digit. Pembulatan dan pemotongan menjadi operasi yang sama. Donald Knuth menilainya sebagai “mungkin sistem bilangan yang paling cantik dari semuanya”. ² Brusentsov, yang tidak memiliki transistor, membujuk tiga keadaan stabil keluar dari pasangan inti ferit; sekitar lima puluh Setun dibangun, sebagian besar dikirim untuk mengajarkan matematika di berbagai universitas Soviet. ³ Mesin itu berfungsi, murah, dan diam-diam lebih maju daripada sesamanya.

Apakah permainan tiga lebih elegan?

Di sinilah seorang penulis yang cermat harus menahan diri. Ekonomi radiks adalah klaim tentang menyimpan dan mengolah bilangan di bawah asumsi biaya tertentu, dan bahkan para matematikawan mencatat bahwa asumsi itu hanya perkiraan; perhitungan yang lebih lengkap sering kali kembali membenarkan biner, itulah sebabnya dunia berjalan di atasnya. ¹ Teka-teki gabung angka bukanlah bank memori; tidak ada yang meminimalkan jumlah tabung saat rehat kopi. Jadi 3927 tidak “lebih efisien” dalam arti rekayasa yang sungguh-sungguh, dan mengatakannya adalah kecurangan.

Namun tetap saja. Permainan ini mewarisi sesuatu yang benar. Pertumbuhan dengan melipattigakan mencapai bilangan besar dalam langkah yang lebih sedikit dan lebih menentukan; setiap penggabungan melakukan lebih banyak kerja, dan kubus 3×3×3 adalah papan terkecil yang memberi ruang bagi peleburan tiga arah di setiap arah. ⁴ Desain ini tidak tersandung secara kebetulan pada angka tiga; ia mendarat pada bilangan bulat yang diam-diam disukai oleh matematika berhitung sejak fajar komputasi elektronik, bilangan yang dipilih dengan sengaja oleh para insinyur Setun. Dua adalah angka yang kita pakai secara bawaan. Tiga adalah angka yang akan kita pilih seandainya efisiensi, bukan lemparan koin, yang punya kata akhir. Bahwa ubin-ubinnya kebetulan mengeja 3, 9, 27 adalah lelucon kecil yang memang sudah diceritakan alam semesta.