Dua permainan gabung angka, satu pertanyaan: dapatkah salah satunya dimainkan tanpa cela? Jawabannya melewati sudut sebuah papan, lawan yang tak pernah datang, dan sebuah angka setinggi tujuh belas eksponen.
Ditulis dan disunting dalam bahasa Inggris. Versi bahasa Indonesia ini dihasilkan oleh terjemahan mesin; jika ketepatan menjadi penting, naskah asli berbahasa Inggris adalah yang berlaku. Baca naskah asli dalam bahasa Inggris →
Mulailah dengan permainan yang dikenal semua orang. 2048, empat arah, grid 4×4, ubin yang berlipat dua ketika bersentuhan, secara ketat belum terpecahkan. Belum ada yang menulis algoritma yang memainkannya dengan sempurna. Yang kita miliki adalah pendekatan yang sangat kuat. Pencarian expectimax, yang mengintip kira-kira delapan langkah ke depan dan menilai setiap papan dengan segelintir heuristik yang disetel manual, yaitu jumlah sel terbuka, ubin besar yang dikunci ke tepi, dan kehalusan, mencapai ubin 32768 di lebih dari sepertiga permainannya, 1 dan mesin publik terkuat menyentuh ubin 65536 dalam beberapa persen permainan. 2 Jika diperumum ke papan m×n, sekadar memutuskan apakah sebuah ubin target dapat dicapai sudah NP-hard. 3 Kuat tidak sama dengan terpecahkan.
Seberapa tinggi satu ubin bisa naik? Pada enam belas sel, jawabannya adalah sepotong hitungan kecil yang elegan. Susun papan sebagai tangga menurun, 65536, 32768, 16384, terus turun hingga sebuah angka 2 yang sendirian. Setiap ubin tepat satu pangkat dua di bawah tetangganya, sehingga enam belas pangkat yang berbeda, 21 hingga 216, mengisi papan dengan sempurna, dan 65536 = 216 berada di puncaknya: satu eksponen per sel. Itulah batas atasnya jika permainan hanya pernah memberi Anda angka 2. Namun 2048 memunculkan angka 4 sekali dari sepuluh kali, dan satu angka 4 yang datang tepat waktu menyelundupkan eksponen ketujuh belas, menaikkan maksimum sebenarnya menjadi 131072 = 217, tujuh belas ubin pangkat yang dijejalkan ke dalam enam belas kotak. 4 Belum ada manusia yang membangunnya; beberapa AI pernah nyaris menyentuhnya.
Mengapa papan-papan ini menghargai tindakan menyelipkan ubin terbesar Anda ke sudut? Ubin di tengah dapat didorong ke empat arah, dan ia terus-menerus dipisahkan dari ubin-ubin yang ingin ia nikahi. Ubin di sudut menyentuh dua dinding; dorongan ke arah dinding yang sudah ia peluk tidak dapat menggerakkannya, dan selama Anda tidak mendorong menjauhi dinding-dinding itu, ia diam di tempat sementara segala sesuatu tertata di sekelilingnya. Rangkai sisanya menjadi ular yang monoton, yang tertinggi di sudut, berkelok bolak-balik dalam urutan menurun, dan satu usapan dapat memicu rentetan penggabungan. 1 Inilah heuristik yang mendominasi permainan santai manusia, dan hampir persis inilah yang ditemukan ulang oleh AI ketika Anda membiarkannya menyetel bobotnya sendiri.
Permainan gabung angka dengan kemunculan ubin acak tidak memiliki lawan, hanya cuaca. “Memecahkannya” berarti mengalahkan dadu secara rata-rata, bukan mengalahkan sebuah pikiran.
Sekarang miringkan papan ke dalam tiga dimensi. 3927 adalah sepupu kubik 2048: kisi 3×3×3 berisi 27 sel, enam arah geser alih-alih empat, dan ubin yang melebur bertiga, 3 menjadi 9 menjadi 27 menjadi 81, basis tiga sementara 2048 berbasis dua. 5 Apakah strategi menumpuk di sudut bertahan di dimensi tambahan? Kubus memiliki delapan sudut, dan sel sudut kini menyentuh tiga sisi, bukan dua; seharusnya ia lebih stabil lagi, dikunci oleh tiga dinding sekaligus, meskipun enam arah itu memberi papan lebih banyak cara untuk menggoyahkan struktur Anda. Ular itu menjadi jalur terlipat yang menembus ketiga lapisan. Sejauh yang dapat saya temukan, belum ada yang memastikan apakah analogi itu benar-benar berlaku; ini penalaran, bukan pengukuran.
Lalu batas atasnya? Aturan satu eksponen per sel akan menyiratkan 327 ≈ 7,6 triliun sebagai batas atas yang longgar. Namun analogi itu sangat rapuh. Eksponen tambahan 2048 berasal dari angka 4 yang beruntung; 3927 hanya pernah memunculkan ubin terkecil, angka 3 saja, jadi tidak ada bonus. Lebih buruk lagi, penggabungan tiga memerlukan tiga ubin yang sejajar dalam satu garis, dan setiap baris, kolom, dan pilar pada kubus 3×3×3 panjangnya tepat tiga sel, sehingga setiap penggabungan menghabiskan satu garis penuh. Kendala itu menggigit jauh lebih keras daripada apa pun dalam permainan datar dan hampir pasti menyeret maksimum sebenarnya jauh di bawah 327. Berapa angka sebenarnya, belum pernah saya temukan dihitung di mana pun. (Penalaran yang diberi label jelas; mekanika di atas diukur dari dokumen desain permainan.)
Inilah kehalusan yang membuat “permainan sempurna” licin. Permainan gabung angka dengan kemunculan ubin acak adalah permainan stokastik satu pemain, sebuah solitaire melawan dadu, bukan duel. Tidak ada yang memilih ubin terburuk untuk menghancurkan Anda; yang ada hanyalah RNG yang acuh tak acuh. Jadi pengertian yang tepat tentang permainan optimal adalah expectimax: memaksimalkan hasil harapan atas sebaran kemunculan ubin. Pengertian itu jelas bukan minimax; minimax mengandaikan adanya lawan, dan jika Anda benar-benar membiarkan lawan menempatkan setiap ubin (“evil 2048”, 2048 jahat), permainan itu menjadi sesuatu yang lebih kejam yang dapat memaksa Anda kalah. Karena dadu pada prinsipnya dapat memberikan urutan apa pun, strategi yang menjamin tercapainya suatu ubin tertentu mungkin memang tidak ada. Jadi jawaban jujur atas pertanyaan “apakah ada strategi sempurna?” adalah bahwa untuk permainan stokastik, yang paling baik yang bahkan dapat kita definisikan adalah strategi terbaik secara rata-rata, dan menghitungnya secara pasti berada di luar jangkauan untuk 2048 6 dan masih terbuka lebar untuk 3927.