Adu ruang keadaan antara grid datar berisi angka dua dan kubus yang seluruhnya dibangun dari angka tiga.
Ditulis dan disunting dalam bahasa Inggris. Versi bahasa Indonesia ini dihasilkan oleh terjemahan mesin; jika ketepatan menjadi penting, naskah asli berbahasa Inggris adalah yang berlaku. Baca naskah asli dalam bahasa Inggris →
Kedua permainan ini adalah teka-teki angka geser. Di 2048 Anda mendorong grid 4×4 berisi enam belas sel ke salah satu dari empat arah; ubin yang sama bertabrakan dan berlipat dua, menaiki tangga pangkat dua. Di 3927 Anda mendorong kubus 3×3×3 berisi dua puluh tujuh sel ke salah satu dari enam arah; tiga blok yang sama bertabrakan dan berlipat tiga, menaiki tangga pangkat tiga, 3, 9, 27, tepat digit-digit dalam namanya. 1 Bertanya mana yang lebih sulit sebenarnya berarti bertanya permainan mana yang menyembunyikan samudra posisi yang mungkin lebih luas. Jadi, mari kita coba mengukur airnya.
Ukuran mentah sebuah papan tumbuh sebagai (simbol per sel)cells, dengan cells adalah jumlah sel. Jumlah sel berada di eksponen, dan di sanalah seluruh daya ungkitnya. 2048 menawarkan enam belas sel; 3927 menawarkan dua puluh tujuh. Jika alfabet per sel dibuat tetap, kubus itu sudah lebih besar dengan faktor kira-kira a27−16 = a11; dengan alfabet sepuluh simbol, itu saja sudah berarti seratus miliar kali lebih banyak keadaan, sebelum kita memperhitungkan hal lain apa pun. Dimensi tambahan itulah, bukan aritmetika basis 3, yang menjadi mesin sesungguhnya.
Setiap sel entah kosong atau memuat satu nilai ubin. Untuk 2048 yang dibatasi pada ubin 256, sebuah sel mengungkapkan satu dari sembilan simbol: kosong, ditambah {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Sebuah batas atas yang telah dipublikasikan, yang dibangun tepat dari alfabet ini, menempatkan papan 4×4 pada sekitar 5,63 × 1014 posisi, dan para penulisnya terus terang bahwa batas atas ini mencakup papan-papan tidak sah yang tidak akan pernah benar-benar terjadi. 2 Beri 3927 kedalaman yang sebanding, kosong ditambah {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, delapan simbol, dan batas atas mentahnya adalah 827 ≈ 2,4 × 1024. Basis 3 memberi 3927 lebih sedikit simbol per sel dibandingkan basis 2; sebelas sel tambahan mengembalikan langit kepadanya.
Geser tangga nilai itu sedikit lebih dalam, dan batas atas 3927 melampaui batas atas 2048 dengan kelipatan antara satu miliar dan seratus miliar. Kubus menang di eksponen.
Belum ada yang menghitung satu per satu keadaan yang dapat dicapai pada 2048 berukuran penuh, apalagi pada 3927. Namun para peneliti telah memecahkan secara tuntas papan 2048 yang diperkecil, dan angka-angka pasti itu menjadi jangkar bagi perkiraan kita. Papan 2048 berukuran 3×3 memuat 48.713.519 keadaan yang dapat dicapai; perbesar menjadi 4×3 dan hitungannya melonjak melewati satu triliun, 1.152.817.492.752 keadaan, dengan 739.648.886.170 posisi setelah-langkah yang berbeda. 3 Setiap sel tambahan melipatgandakan dunianya. Ekstrapolasikan kurva itu ke 27 sel, dan tidak ada tabel jujur yang dapat mencetak satu angka pun.
| Sifat | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Papan | 4×4 datar | kubus 3×3×3 |
| Sel | 16 | 27 |
| Basis bilangan | 2 | 3 |
| Aturan penggabungan | 2 sama → berlipat dua | 3 sama → berlipat tiga |
| Arah geser | 4 | 6 |
| Simbol / sel (kedalaman sebanding) | 9 | 8 |
| Batas atas mentah (termasuk tidak sah) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Batas atas yang disempurnakan (dikutip) | 5.63 × 10¹⁴ | belum ada yang dipublikasikan |
| Hitungan pasti, sub-papan 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Setiap angka besar di sini adalah batas atas atau perkiraan orde besaran, bukan sensus. Batas-batas atas itu menghitung papan yang tidak akan pernah dicapai oleh permainan yang sah, misalnya papan yang hanya berisi satu ubin yang berdiri sendiri (kedua permainan dimulai dengan dua ubin, dan menambahkan satu ubin baru setelah setiap langkah, sehingga tidak ada papan yang pernah tersisa hanya satu ubin), atau nilai yang tidak dapat dihasilkan oleh urutan penggabungan mana pun. Angka-angka 2048 diambil dari karya yang telah ditelaah sejawat; angka-angka 3927 adalah batas atas kasar hitungan saya sendiri, dihitung dengan cara yang sama, dan harus dibaca sebagai “tidak lebih besar dari ini, kemungkinan jauh lebih sedikit”. Aturan kedua permainan diukur dari dokumen desain permainan, bukan diasumsikan.
Ukuran ruang keadaan adalah petanya; faktor percabangan adalah seberapa cepat Anda menjelajahinya. Pada setiap giliran pemain memilih satu arah, hingga empat di 2048, hingga enam di 3927, sehingga kubus menawarkan lima puluh persen lebih banyak pilihan nyata per langkah. Lalu peluang ikut campur: permainan menjatuhkan ubin baru ke sel kosong yang acak. 2048 memunculkan angka 2 atau 4, kira-kira dua kemungkinan hasil per sel terbuka di antara sebanyak-banyaknya lima belas sel kosong; 3927 selalu memunculkan satu angka 3, tetapi ke salah satu dari sebanyak-banyaknya dua puluh enam sel kosong. 1 Kalikan keputusan dengan peluang, dan pohon permainan 3927 mengembang lebih lebar di setiap lapis, dan, karena penggabungan tiga lebih jarang terjadi daripada penggabungan dua, permainannya cenderung berlangsung lebih lama, sehingga pohonnya bukan hanya melebar tetapi juga mendalam.
“Lebih sulit” bagi manusia adalah soal rasa, dan 2048 bukan lawan yang enteng: memutuskan apakah sebuah posisi sembarang dapat mencapai ubin target terbukti NP-hard pada papan umum. 4 Namun sebagai objek kombinatorik, 3927 adalah hewan yang lebih besar dengan selisih yang lebar dan jujur: lebih banyak sel di eksponen, lebih banyak arah dalam percabangan, permainan yang lebih panjang dalam kedalaman. Aritmetika basis 3 yang memberinya nama hampir merupakan pengalih perhatian. Kesulitannya tidak pernah terletak pada angka tiga. Kesulitannya terletak pada dimensi ketiga.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.